Jurnal Matematika

ini merupakan jurnal matematika dari

Maximus Gorky Sembiring

Jurusan Matematika, FMIPA-UT

E-mail: gorky@ka.ut.ac.id

PENDAHULUAN

Latar belakang
Paling tidak ada dua pendekatan melakukan investigasi kestabilan global model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies. Cara pertama adalah pendekatan analitis matematis dan cara kedua adalah melalui simulasi numerik berbantuan komputer. Secara umum, cara pertamalah (analitis matematis) yang telah diterima secara saintifik untuk menyelidiki kestabilan global dari suatu model yang didapat dari sistem persamaan diferensial (Murray, 1989). Meski demikian, cara kedua, simulasi numerik berbantuan komputer, walau saat ini belum bisa diterima sebagai cara saintifik menyelidiki kestabilan global dimaksud, namun paling tidak hasilnya dapat digunakan sebagai salah satu cara memvisualisasikan kajian mengenai kestabilan global model ini.

Dari perspektif substansial, awalnya perilaku trayektori pada bidang fasa saja, yang diperoleh dari suatu sistem persamaan diferensial, sudah dapat digunakan untuk "menduga" kestabilan dari suatu model (O’Neil, 1983; Boyce & DiPrima, 1986); dalam hal ini tentunya model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies. Akan tetapi dalam kenyataannya, secara analitis, kestabilan tersebut ternyata belum tentu menunjukkan kestabilan yang bersifat global (Hastings, 1978; Kuang, 1990). Dalam terminologi yang dikenal di bidang ini, kestabilan yang dihasilkan dari analisis bidang fasa (perilaku trayektori di sekitar ekuilibrium) hanya bersifat lokal, belum relevan jika diaplikasikan langsung dalam kehidupan ekosistem nyata (Krikorian, 1979). Secara visual, simulasi komputer bisa memunculkan sifat kestabilan yang dihasilkan dari suatu model dan ternyata memang hanya bersifat lokal saja. Artinya, dengan bertambahnya waktu t, kestabilan tersebut semakin menjauhi atau malah semakin masuk ke titik kritis yang dihasilkan dari suatu sistem persamaan diferensial.

Problem
Dalam beberapa kajian serupa (Sembiring, 1996), ada terjadi beberapa hal yang saling berbeda antara hasil kajian kestabilan global melalui cara analitis (cara pertama) versus pragmatis (cara kedua). Muncul beberapa kemungkinan menyangkut hasil investigasi kestabilan global model umum Voletrra-Lotka interaksi 2-spesies tersebut, apakah melalui cara pertama (yaitu cara analitis di bawah teorema atau Corollary yang dikonstruksi) dan atau cara kedua (yaitu simulasi numerik berbantuan komputer), yakni:

1. hasil melalui proses analitis matematis saling mendukung dengan hasil yang ditampilkan melalui simulasi komputer; artinya kestabilan global suatu model dapat ditunjukkan melalui proses analitis matematis demikian juga melalui proses simulasi komputer
2. hasil melalui proses analitis matematis menunjukkan kestabilan global sedangkan hasil simulasi komputer tidak mendukungnya
3. hasil melalui proses simulasi komputer menunjukkan kestabilan global dari suatu model sebaliknya hasil analitis matematis tidak bisa membuktikannya
4. hasil melalui proses analitis matematis dan juga hasil simulasi komputer kedua-duanya sama sekali tidak dapat menunjukkan kestabilan global dari suatu model.

Tujuan
Ada beberapa hal menarik yang bisa diungkapkan dari apa yang telah diuraikan sebelumnya. Namun secara umum, makalah ini akan memperlihatkan pada keadaan bagaimana hasil antara cara analitis matematis versus hasil dari simulasi komputer saling mendukung atau malah saling menegasi. Secara lebih khusus, kajian ini bertujuan untuk memperlihatkan:

1. apa syarat cukup dan syarat perlu yang harus dipenuhi oleh suatu model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies dikatakan memiliki kestabilan global
2. bagaimana teorema kestabilan global model ini diaplikasikan
3. apakah ada limitasi teorema kestabilan global yang diintroduksi dalam kajian ini, dan
4. bagaimana keempat kemungkinan problem di atas berlaku dan atau tidak berlaku.

Limitasi
Makalah ini memang dengan sengaja membahas masalah kestabilan global model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies. Alasannya, Persamaan Diferensial yang diaplikasikan di bidang kajian ekosistem, khususnya dalam kajian dinamika populasi, sementara ini hanya efektif untuk mendeskripsikan interaksi kompetisi untuk spesies kurang dari interaksi tiga sistem (Smale, 1976).

Model-model yang akan digunakan dan teorema-teorema yang akan dipakai dalam kajian ini sebagaimana diuraikan pada bagian berikut.

ANALISIS MODEL DAN TEOREMA

Model
Model umum Volterra-Lotka yang digunakan sebagai bahan kajian dalam makalah ini adalah sebagaimana yang dintroduksi Goh (1977), yaitu:

dimana i = 1,2, ..., n (1)

Fungsi Lyapunov yang sesuai untuk model ini, masih dari Goh (1977), adalah:

(2)

Teorema
Syarat perlu dan syarat cukup untuk model (1) adalah:

Teorema 1 (Goh, 1977).
Model (1) dikatakan memiliki kestabilan global jika:

1. memiliki ekuilibrium positif, yaitu
2. terdapat konstanta positif matriks diagonal F sedemikian rupa sehingga adalah negatif definit.

Catatan:

Pembuktian Teorema 1 mengikuti Goh (1977), dimana (i = 1,2, …, n) adalah ekuilibrium (titik kritis) yang didapat dari suatu sistem persamaan diferensial untuk n-interaksi.

Makalah ini secara khusus akan membahas model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies saja. Untuk n=2 (i=1,2), maka model (1) [masih dari Goh, 1976] menjadi:

(3)

 dimana dan adalah konstanta positif; dan bisa ma ngsa dan atau pemangsa. Sistem (3), menurut Goh (1980), memiliki kestabilan lokal jika memenuhi syarat cukup:

dan (4)

Syarat perlu dan syarat cukup kestabilan global untuk model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies diperoleh dari teorema berikut ini.

Teorema 2 (Goh, 1976)

Model (3) dikatakan memiliki kestabilan global jika:

(i) memiliki ekuilibrium positif, yaitu

(ii) ekuilibrium tersebut stabil asimtotis lokal, yaitu

(iii) kedua spesies mempunyai densitas mortalitas tetap disebabkan oleh interaksi intra-spesifik, yaitu

Catatan: Pembuktian mengikuti Goh (1976); Sembiring (1996)

Fungsi Lyapunov untuk model ini, dari (2), untuk interaksi 2- spesies, adalah:

(5)

Dengan mengintroduksi suatu variabel baru, disebut transformasi Poincare, spektrum Teorema 2 dapat ditingkatkan. Variabel baru tersebut diintroduksi awalnya oleh Hsu (1978), yaitu:

,

atau (6)

,

dimana , untuk j = i . Dengan dan j = 1,2, …, n.

Setelah melalui sedikit manipulasi secara matematis, maka Teorema 2 bisa dikembangkan lagi spektrumnya. Adapun pengembangan Teorema 2 ini, dengan bantuan transformasi Poincare (Hsu, 1978), mengkonstruksi Teorema 3 dan dual-nya, yaitu Teorema 4 (Goh, 1980; Sembiring, 2000), bisa juga disebut sebagai Corollary, berikut ini.

Teorema 3

Model (3) stabil global jika

1. memiliki ekuilibrium positif, yaitu
2. dan

Teorema 4

Model (3) stabil global jika

1. memiliki ekuilibrium positif, yaitu
2. dan

Awalnya hanya Teorema 2 yang tersedia untuk menganalisis kestabilan global model umum Volterra-Lotka interaksi 2-spesies. Dengan bantuan transformasi Poincare maka muncul Teorema 3 dan Teorema 4 yang spektrumnya menjadi jauh lebih luas dari Teorema 2 dalam menyelidiki kestabilan global model ini (Sembiring, 1996 & 2000). Dengan kata lain, kini telah ada tiga Teorema yang "berbeda" untuk menganalisis kestabilan global dimaksud. Untuk memulai simulasi, akan diberikan beberapa contoh numerik seperti diuraikan berikut ini.

APLIKASI DAN SIMULASI NUMERIK

aplikasi & simulasi

Ada lima contoh simulasi numerik yang disajikan dalam makalah ini. Model-model ini disimulasikan dengan bantuan perangkat lunak komputer Matcalc dan Minitab. Pada saat yang sama, akan diperlihatkan bagaimana Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4 diaplikasikan terhadap model-model ini. Model-model dimaksud adalah:

Simulasi 1

Perhatikan sistem berikut yang diberikan oleh:

(7)

Ekuilibrium nontrivial model ini (Sembiring, 1992), diberikan oleh:

(8)

dimana Ekuilibriun positif dari (8) didapat jika:

untuk

atau

untuk

Ekuilibrium positif dari model (7), di bawah (8), adalah . Kestabilan lokal dari ekuilibrium ini menurut (4), tergantung dari:

= 5,5

Eigenvalue matriks ini diberikan oleh:

maka

Menurut definisi (O’Neil, 1983), ekuilibrium ini berbentuk titik spiral. Karena eigenvalue-nya negatif, maka bersifat stabil lokal. Ini juga diperlihatkan oleh dan untuk [lihat syarat pada persamaan (4)]. Potret bidang fasa model ini, dari keluaran simulasi komputer, menunjukkan bahwa model (7) bersifat stabil global (Lihat Gambar 1).

Gambar 1: Titik kritis dan solusi numerik model (7) yang merupakan interaksi simbiosa mutualisme

Terlebih lagi, Maka syarat cukup dan syarat perlu dari Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4 semua dipenuhi. Maka model (7) bersifat stabil global.

Simulasi 2

Mirip dengan Simulasi 1, ambil contoh numerik berikut:

(9)

Di bawah (8), Kestabilan model (9) didapat dari:

Eigenvalue model ini adalah

Karena bagian real eigenvalue ini negatif, menyiratkan ekuilibrium stabil lokal. Selain itu, dan untuk i = 1, 2. Simulasi komputer dari model (9) ini (Lihat Gambar 2) memperlihatkan bahwa model (9) bersifat stabil global. Di bawah Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 4 model ini memiliki kestabilan global. Jadi model (9) juga jelas bersifat stabil global.

Gambar 2: Titik kritis dan solusi numerik model (9) yang merupakan interaksi kompetisi
Simulasi 3

Perhatikan pula model berikut ini:

(10)

Di bawah (8) jelas Simulasi komputer juga menunjukkan bahwa model (10) ini bersifat stabil global (Lihat Gambar 3). Dari (10), ; di bawah Teorema 2, model ini kelihatannya tidak stabil global. Namun kemudian ; maka di bawah Teorema 4 model (10) ini memiliki kestabilan global.

Gambar 3: Titik kritis dan solusi numerik model (10) yang merupakan interaksi Predator-Prey
Simulasi 4

Periksa model berikut ini:

(11)

Dari (8), dan dan Maka di bawah Teorema 3 model (11) bersifat stabil global. Sayangnya (?), simulasi komputer "tidak" bisa memvisualisasikan potret bidang fasa dan tipe kestabilan ekuilibriumnya.

Simulasi 5

Periksa pula model berikut ini:

(12)

Dengan (8), Di bawah (4) model ini bersifat stabil lokal. Namun simulasi komputer tidak menunjukkan kestabilan global model (12) ini. Kebetulan (?), secara analitis matematis, model (12) ini juga ternyata tidak memiliki kestabilan global. Karena dari ketiga teorema yang ada, tidak bisa menginvestigasi kestabilan globalnya.

PEMBAHASAN DAN ANALISIS

Dari penyajian model-model, teorema-teorema, dan hasil-hasil simulasi numerik berbantuan komputer seperti terlihat pada potret bidang fasa sebelumnya (lihat Gambar 1, 2, dan 3), dapat dilihat hasil dari Simulasi 1, Simulasi 2, dan Simulasi 3 menunjukkan bahwa pendekatan melalui cara analitis teoretis demikian juga cara simulasi pragmatis hasilnya saling mendukung. Artinya, tidak ada kontradiksi dalam melakukan investigasi kestabilan global yang dihasilkan oleh kedua pendekatan ini. Dengan kata lain, baik pendekatan cara pertama dan juga cara kedua sama-sama saling mendukung antara satu dengan yang lainnya.

Tidak demikian halnya dengan Simulasi 4. Dalam kasus ini, simulasi komputer tidak bisa menunjukkan kestabilan global model tersebut. Namun, di bawah pendekatan teoretis, model ini ternyata masih mempunyai kestabilan global. Sementara dalam Simulasi 5, baik simulasi komputer demikian juga pendekatan analitis tidak bisa mengungkapkan kestabilan global model ini; hanya bisa mengungkapkan kestabilan lokalnya saja.

Pada Simulasi 1, sebagaimana terlihat pada Gambar 1, model (7) sesungguhnya menggambarkan interaksi simbiosa mutualisme. Artinya, dengan bertambahnya waktu, jumlah masing-masing spesies konstan secara simultan. Simulasi 2, seperti tervisualisasi pada Gambar 2, memperlihatkan interaksi bersifat kompetisi. Artinya, spesies yang satu menurun secara simultan bersamaan dengan spesies yang lainnya. Dan pada Simulasi 3, diperlihatkan oleh Gambar 3, mengungkapkan interaksi bersifat predator-prey. Maksudnya, spesies yang satu melebihi spesies yang lainnya meski pada saat awalnya mereka sebenarnya berangkat dari jumlah awal yang secara proporsional relatif sama.

Dari perspektif bentuk-bentuk titik kritis, maka model pada Simulasi 1, Simulasi 2, dan Simulasi 3 semuanya menunjukkan bentuk titik spiral. Ketiga model ini mempunyai bagian real dari eigenvalue-nya dan itu bernilai negatip. Hal ini menunjukkan bahwa semua titik kritis itu bersifat stabil lokal; secara analitis mereka semua asimtotis stabil (O’Neil, 1983).

Pada Simulasi 4, secara analitis (di bawah teorema yang ada) model pada Simulasi ini jelas bersifat stabil global. Namun, sayangnya, simulasi komputer tidak bisa menunjukkan visualisasinya sebagaimana yang ditampilkan pada Gambar 1-3. Sementara pada Simulasi 5, baik secara analitis demikian juga secara simulasi, keduanya tidak bisa menyatakan kestabilan globalnya demikian juga tidak bisa memastikan jenis interaksinya.

PENUTUP

Dari kenyataan yang terlihat pada Simulasi 5, maka teorema kestabilan global yang ada hingga saat ini belum bisa menyelidiki semua model umum dari Volterra-Lotka, interaksi 2-spesies, khususnya seperti diperlihatkan pada model yang dikaji dalam Simulasi 5. Artinya, teorema yang ada belum bisa menyelidiki kestabilan global tiap bentuk model umum Volterra-Lotka. Untuk itu, diperlukan penelitian dan pengembangan lebih intensif lagi dalam bidang kajian ini. Sehingga bisa memunculkan syarat cukup dan syarat perlu kestabilan global model umum Volterra-Lotka untuk 2-spesies ini, dengan kemampuan penjelajahan investigasi yang jauh lebih luas dan lebih umum lagi spektrumnya dibandingkan dengan semua teorema kajian tentang kestabilan global yang telah ada hingga saat ini.